quinta-feira, 3 de setembro de 2009

As matrizes na Engenharia Elétrica

As matrizes são utilizadas na engenharia elétrica para se resolver circuitos. Lança-se mão das matrizes, uma vez que envolve sistemas, equações e incógnitas. Já imaginou resolver isso a mão? Através de matrizes, programas de computadores ou calculadoras programáveis tipo HP podemos resolver esses sistemas de maneira simples e rápida.
Quando se quer calcular um curto circuito ou uma tensão ou corrente em um sistema de energia, são as matrizes e outros operadores matemáticos e numéricos que se utilizam. Em resumo, pode-se dizer que matrizes e números complexos são a base da matemática na engenharia elétrica.

Aplicação de determinantes


Seja o sistema de equações lineares ao lado e o determinante B calculado pelos coeficientes das variáveis.


E os determinantes conforme figura a lado.
Então a solução é dada por: x = B1/B, y = B2/B e z = B3/B.


Fonte: www.mspc.eng.br

Algumas propriedades dos determinantes


1) Mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se linhas e colunas são trocadas.


2) Se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal.


3) Se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si, proporcionais entre si ou nulos, o determinante é nulo (k é um número qualquer).


4) Se os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum, ele pode ser colocado em evidência.


5) Um determinante não se altera se aos elementos de uma linha ou coluna são somados ou subtraídos os elementos (ou múltiplos deles) de outra linha ou coluna.

Determinantes

Determinantes de 2ª ordem

O conceito de determinante está ligado ao de matriz, embora seja completamente distinto: enquanto matriz é o conjunto de elementos conforme já mencionado, determinante é o resultado de uma operação aritmética com os elementos de uma matriz, que obedece a uma determinada regra. Só se aplica a matrizes quadradas.

Veja ao lado para uma matriz A2,2 (determinante de 2ª ordem).

O prefixo det é colocado antes da matriz para indicar determinante. Ou, de forma mais compacta, os colchetes na matriz são substituídos por barras verticais para o mesmo efeito.

Determinantes de ordens superiores

Para determinantes de 3ª ordem ou superior, o cálculo pode ser feito pela decomposição: considera-se, por exemplo, a primeira linha da matriz e somam-se as parcelas de cada elemento desta linha multiplicado pelo determinante da matriz que restar pela eliminação da linha e coluna que passam pelo elemento.

Se o índice da coluna for par, o sinal da parcela será negativo e positivo do contrário. Para cada determinante restante, o processo é repetido até chegar a determinantes de 2ª ordem, que são calculados pela fórmula anterior.

A figura acima demonstra o método para um determinante de terceira ordem.

Matriz inversa

Sejam as matrizes quadradas An,n e Bn,n. Se BA = In , onde In é a matriz unitária conforme já visto, então B é chamada de matriz inversa esquerda de A.

Para achar a matriz inversa:

Por exemplo, seja a matriz A ao lado e desejamos saber sua inversa esquerda B.


O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito de A.

Agora, o objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por coeficientes de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo (processo de Gauss-Jordan).


1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por -1.


2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por -1.
3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por -2.


3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por -3.


3ª linha = 3ª linha multiplicada por -1.


2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por -1.


E a matriz inversa é a parte da direita.

Multiplicação de matrizes

Sejam as matrizes Am,p e Bp,n (o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda). O produto AB é dado pela matriz Cm,n cujos elementos são calculados por:

c11 = 4.1 + 0.2 + 5.1 = 9 | c12 = 4.2 + 0.5 + 5.0 = 8 |

c21 = 1.1 + 1.2 + 3.1 = 6 | c22 = 1.2 + 1.5 + 3.0 = 7 |

Temos então a fórmula genérica:


Algumas propriedades do produto de matrizes

Sejam as matrizes A, B e C.

1) Se os produtos A(BC) e (AB)C são possíveis de cálculo, então A(BC) = (AB)C.

2) Se os produtos AC e BC são possíveis, então (A+B)C = AC + BC.

3) Se os produtos CA e CB são possíveis, então C(A+B) = CA + CB.

4) Se Ip é a matriz unitária pp conforme já mencionado, então: Ip Ap,n = Ap,n e Bm,p Ip = Bm,p.

Matrizes nulas e unitárias


Propriedades das operações anteriores

Sejam A e B matrizes m,n e c e d escalares. Então:

c (A + B) = cA + cB e d (cA) = dc (A).

E, também, se cA = cB então A = B.

Multiplicação por uma constante

Adição e Subtração

Esta operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas.


Um pouco de teoria...

Matrizes formam um importante conceito em matemática, de especial uso no estudo de transformações lineares. Não é o propósito desta página a teoria dessas transformações, mas apenas alguns fundamentos e operações básicas com matrizes que as representam.

Uma matriz Am,n pode ser entendida como um conjunto de mn (m multiplicado por n) números, dispostos em m linhas e n colunas, conforme figura ao lado.

Portanto, na matriz abaixo, de 2 linhas e 3 colunas, temos:

História e curiosidades: Determinantes

A primeira ideia de determinante, presume-se, já existia na China antiga onde os coeficientes de equações lineares eram representados com varetas de bambu.
  • 1683: no Japão, o matemático Seki Shinsuke Kowa, baseando-se em ensinamentos chineses, utilizava varetas para resolver sistemas lineares de um modo semelhante ao processo usado hoje para o cálculo de determinantes;
  • 1693: o matemático alemão Göttfried Wilhelm Leibniz, criou a teoria dos determinantes, também resolvendo sistemas lineares;
  • 1750: o matemático suíço Gabriel Cramer, desconhecendo os trabalhos já feitos, reinventou os determinantes ao estabelecer e publicar uma regra, que leva seu nome, para resolver os sistemas lineares;
  • 1812: Cauchy escreveu 84 páginas sobre determinantes e, a partir daí, a teoria dos determinantes tornou-se um ramo da Álgebra, passando, então, a ser largamente utilizada.
CURIOSIDADE: do ponto de vista histórico, a ideia de determinante aparece em soluções de sistemas lineares pelo menos um século antes do matemático inglês Arthur Cayley criar as teorias das matrizes. A ordem histórica, portanto, foi: sistemas lineares, determinantes e matrizes, porém, estudamos primeiro matrizes, depois determinantes e, em seguida, sistemas lineares.


Fonte: Facchini, Walter. Matemática para a escola de hoje: volume único. São Paulo: FTD, 2006.

História e curiosidades: Matrizes

Nas obras matemáticas de autoria chinesa percebe-se que os chineses gostavam bastante de diagramas de formato quadrado e o primeiro registro de uma quadrado mágico é encontrado em obras chinesas.

Por exemplo, o quadrado mágico abaixo, popularmente conhecido como Sudoku, no qual a soma das horizontais, nas verticais e nas duas diagonais é sempre 15, remonta aos dias de um lendário imperador de nome Yii.



Umas das mais importantes obras matemáticas chinesas é o livro Chui-Chang Suan-Shu.

Embora os chineses já tivessem noções sobre matrizes e até mesmo fizessemaplicações com elas, só no século XIX, um dos maiores matemáticos franceses dessa época, Augustin-Louis Cauchy, num famoso artigo matemático publicado em 1812, fala algo sobre as matrizes.
Os historiadores citam o inglês Arthur Cayley como o descobridor e criador da àlgebra das matrizes.


Fonte: Facchini, Walter. Matemática para a escola de hoje: volume único. São Paulo: FTD, 2006.

Conceitos

A matriz e os determinantes não são encontrados apenas no estudo da matemática, mas também na engenharia, informática, tabelas financeiras, e dentre outras. Uma matriz é um conjunto ordenado de elementos dispostos em linhas e colunas representadas respectivamente por m e n, onde n ≥ 1 e m ≥ 1.
Para representar essas linhas e colunas devemos obedecer as regras, dependendo do número de linhas e colunas a matriz recebe um nome e podemos também aplicar nelas as quatro operações.

Determinante é um tipo de matriz, mas essa deverá ter o mesmo numero de linhas e o mesmo número de colunas que é chamada de matriz quadrada. Nele não aplicamos as quatro operações, mas tem as suas propriedades, como achar o valor numérico de um determinante.


http://www.brasilescola.com/matematica/matriz-e-determinante.htm

Apresentação

Este blog está sendo desenvolvido pelas acadêmicas Fernanda Konzen e Luciana Schwengber, do Curso de Matemática - Licenciatura Plena da Universidade de Santa Cruz do Sul, como atividade de pesquisa acadêmica da disciplina de Informática Aplicada a Educação.
Iremos mostrar onde podemos aplicar as matrizes e determinantes no dia-a-dia, e escolhemos estes assuntos pelo grande número de questionamentos feitos pelos alunos de Ensino Médio, quanto a utilização destes conteúdos fora da escola.